บทเรียน พาราโบลา

จุดประสงค์การเรียนรู้เรื่องพาราโบลา จุดประสงค์การเรียนรู้สำหรับเรื่องนี้ มุ่งให้ผู้เรียนสามารถ 1. บอกนิยามของพาราโบลา 2. หาโฟกัส จุดยอดและสมการไดเรกตริกซ์ พร้อมทั้งบอกลักษณะของกราฟเมื่อกำหนดสมการของพาราโบลาให้ 3. หาสมการของพาราโบลา เมื่อกำหนดเงื่อนไขต่างๆ ให้ 4. เขียนกราฟของพาโบลา จากสิ่งที่กำหนดให้ นำความรู้เรื่องพาราโบลาไปใช้แก้ปัญหาที่กำหนดให้ได้

---

พาราโบลา

ในตอนแรก ให้นักเรียนสังเกตุการสร้างพาราโบลาจากภาพเคลื่อนไหวข้างล่างนี้

	จากรูปจะได้ความสัมพันธ์จุดแต่ละจุดอยู่ห่างจากเส้นตรง l และจุดที่กำหนดให้เป็นระยะทางเท่ากันคือ AM = MF BL = LF VK = KF DJ = JF EI = IF เมื่อเขียนจุดทั้งหมดในระนาบ จะได้กราฟที่เรียกว่า พาราโบลา

 

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

 

ส่วนประกอบของพาราโบลา - เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา  - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส  และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ  แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0)
สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้
ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา

ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา
PR = PQ
= 
x² - 2cx + c² + y² = x² - 2cx + c²
y² = 4cx เมื่อ c > 0

ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย

ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y² = 4cx เมื่อ c < 0
จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส

สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น
x² = 4 c c
x² = 4 c² 
ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0)
แสดงว่า AF = 2c
เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c
นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย
โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า
ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย

ตัวอย่าง 1-3

ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0
ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย

 มีสมการ x² = 4cy เมื่อ c > 0

สมมุติให้ P(x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา 
จากนิยาม PF = PQ
= 
x² + y² - 2cy + c² = y² + 2cy + c²
x² = 4cy เมื่อ c > 0

ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ

ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา
x² = 4cy เมื่อ c < 0

 

ตัวอย่าง 4-6

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)

การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y
1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x

รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k)
โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c
ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(y')² = 4cx'
แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า
y' = y - k และ x' = x - h
ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c > 0

รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ

(y - k)2 = 4c(x - h)

เมื่อ c < 0

จากสมการ (y - k)² = 4c(x - h)
กระจายได้ y² - 2ky + k² = 4cx - 4ch
y² - 2ky + - 4cx + k² + 4ch = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k² + 4ch
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0

จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

 

ตัวอย่าง 7-8

 

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y

รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k)
โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) 
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c
ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) 
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(x')2 = 4cy'
แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า
x' = x - h และ y' = y - k
ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h)2 = 4c(y - k)

เมื่อ c > 0

รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h)2 = 4c(y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0

จากสมการ (x - h)2 = 4c(y - k)
กระจายได้ x² - 2hx + h² = 4cy - 4ck
x² - 2hx - 4cy + h² + 4ck = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h²+ 4ck
จะได้ y² + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ
ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0

 

ตัวอย่าง 9-10

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)

 

ตัวอย่าง 11 - 17

http://www.atom.rmutphysics.com/charud/oldnews/0/286/15/22/conic/para.htm